¶ 线性代数
线性代数是对线性结构——如线性算子、向量空间、矩阵、双线性形式和张量——的研究。
¶ 前置知识
- 集合、数集
- 复数
微积分知识可以发现线性代数和微分方程以及微积分（甚至分析）之间地联系。但这不是必要的。
¶ 笔记导读
¶ Linear Algebra in Diagrams
Linear Algebra in Diagrams 是一份基于 Linear Algebra Done Wrong 的阅读笔记。它的主要特点是尝试通过图示（diagrams）来总结重要的定理和定义，帮助读者形成牢固的 mental picture。
此外，它还对 Linear Algebra Done Wrong 的部分定理证明作了补充，展示了一些更为抽象的证明版本；同时它也对物理中常用的一些结论（如欧拉旋转定理与运动分解）作了更详细的证明和延伸。
¶ 推荐书目
不同课本和作者都有不同的切入点。如果说每本书是学科在不同平面上的投影的话，不妨多翻阅几本教材来尝试了解学科的全貌。
¶ Linear Algebra, 3rd Edition. Serge Lang
A nice mathematics books, written by a famous mathematician and at a fairly informal level, but following the mathematical logic of the subject. -- Prof. Andre Lukas
这本教材非常精炼，从第一章开始就介绍了对线性空间的抽象。书本的行文风格类似非正式讨论，抽象程度较高，注重基础定理证明；但是逻辑性较强，因此阅读体验尚可，有困难的主题在二次阅读后都可以理解。但缺点是如果作为第一次接触线性代数的教材可能会被抽象和证明技巧淹没，难以找到内容的核心（essence of the subject）。
从选材角度上来说，书本的侧重点在于数学内容的自洽性和互通性——在讲解 Eigenspaces 时特意用一章来解释 Polynomials 的代数性质，在习题中也时常有线性代数在微积分以及微分方程中的应用。但是书本没有涉及线性代数应用的内容——如在计算机视觉（Computer Vision）中常用的 Perspective Projection，实际使用中会遇到的分解技巧如 LU 分解，SVD 分解等。
此外，本书还有另外一本同作者的入门版本：Introduction to Linear Algebra, Serge Lang
Serge Lang 是一名知名的代数学家，他还有许多著名的不同数学分支的课本。
¶ Linear Algebra Done Wrong, Sergei Treil
这是一本可以在线免费获取的教材。按照作者的话来说，它力求成为一本同时包含严格证明和应用案例的线性代数入门教材。
教材的可读性较强，作者愿意作对概念和定理作更多地解释，也会直接说出读者心中可能存在的困惑。选材角度上则包含了在线性代数应用（计算上以及在其他领域中)的技巧，但是相比 Serge Lang 的 Linear Algebra 较少涉及与其他数学领域的联系。在证明上，本书有时较 Serge Lang 的 Linear Algebra 更为非正式，但是大多数时候足够让初学者信服并建立扎实的理解。
教材选材跨度较大：从入门线性代数一直涉及到张量，同时还穿插了一些应用技巧。后续主题初次阅读可能会有少些困难，但是总体难度依旧低于 Serge Lang 的 Linear Algebra。
此外，因为本书非正式出版，书中存在一些不影响阅读的 typo。这本书也是笔记 Linear Algebra in Diagrams 所基于的教材。
Sergei Treil 是 Brown University 的数学教授。此书也是 Brown University honors Linear Algebra 课程的教材。
¶ 其他书本
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Vectors and Matrices, Andre Lukas
这本书是 Prof. Andre Lukas 为 University of Oxford 物理系线性代数课程编写的教材，更注重相关概念（在物理）的应用，但同时也保留了必要的抽象。本书去掉了一些和物理关系不大的主题。 -
Linear Algebra Done Right, Sheldon Axler
一本注重主题间逻辑性、概念引入的 motivation、从不同角度入手的教材。值得一看。
No prerequisites are assumed other than the usual demand for suitable mathematical maturity. Thus the text starts by discussing vector spaces, linear independence, span, basis, and dimension. The book then deals with linear maps, eigenvalues, and eigenvectors. Inner product spaces are then introduced, leading to the finite-dimensional spectral theorem and its consequences such as the singular value decomposition. Generalized eigenvectors are then used to provide insight into the structure of a linear operator.